Os pesquisadores fizeram um grande avanço na geometria espectroscópica ao provar um caso especial da conjectura de Bolya relativa aos autovalores do disco. O seu trabalho, que combina elegância teórica com potenciais aplicações práticas, destaca o valor universal e a beleza artística da investigação matemática. Crédito: SciTechDaily.com
Um dos professores e seus colaboradores comprovaram a conjectura de Polya sobre os autovalores do disco, um problema difícil em matemática.
A forma do tambor pode ser deduzida dos sons que ele emite?
Este é o tipo de pergunta que Iosif Poltrovic, professor do Departamento de Matemática e Estatística da Universidade de Montreal, gosta de fazer. Poltrovic usa geometria espectroscópica, um ramo da matemática, para compreender fenômenos físicos que envolvem a propagação de ondas.
Um avanço na estimativa matemática
No verão passado, Poltrović e os seus colaboradores internacionais – Nikolai Filonov, Michael Levitin e David Scherr – provaram um caso especial da famosa conjectura da geometria espectroscópica formulada em 1954 pelo eminente matemático húngaro-americano George Polya.
A estimativa diz respeito a estimar as frequências do cilindro redondo, ou, em termos matemáticos, os autovalores do disco.
Este diagrama mostra as funções de Bessel, onde os pontos correspondem às frequências dos sons produzidos por um tambor redondo. Crédito: Michael Levitin
O próprio Polya confirmou sua conjectura em 1961 sobre as esferas que compõem o plano, como triângulos e retângulos. Até o ano passado, o palpite era conhecido apenas para esses casos. O disco, apesar de sua aparente simplicidade, permaneceu indescritível.
“Imagine um piso infinito coberto com ladrilhos do mesmo formato que se encaixam para preencher o espaço”, disse Poltrovic. “Eles podem ser lado a lado com quadrados ou triângulos, mas não com discos. Na verdade, um disco não é um bom formato para mosaico.
A universalidade e o impacto da matemática
Em artigo publicado em julho de 2023 na revista esportiva Invenções matemáticasOs pesquisadores mostraram que a conjectura de Bolya está correta para um disco, um caso considerado particularmente difícil.
Embora seus resultados sejam principalmente de valor teórico, seu método de prova tem aplicações em matemática computacional e computação numérica. Os autores estão agora investigando essa abordagem.
Joseph Poltrovic
“Embora a matemática seja uma ciência básica, é semelhante aos esportes e às artes em alguns aspectos”, disse Poltrovic.
“Tentar provar uma conjectura de longa data é um esporte. Encontrar uma solução elegante é uma arte. Em muitos casos, belas descobertas matemáticas são úteis, basta encontrar a aplicação certa.”
Referência: “A Conjectura Polya para Esferas Euclidianas” por Nikolai Filonov, Michael Levitin, Iosif Poltrovic e David A. Compartilhar, 5 de junho de 2023, Invenções matemáticas.
doi: 10.1007/s00222-023-01198-1
